問題
定格出力45kW，定格周波数60Hz，極数4，定格運転時の滑りが0.02である三相誘導電動機について，次の（a）及び（b）の問に答えよ。
（a）この誘導電動機の定格運転時の二次入力（同期ワット）の値[kW]として，最も近いものを次の（1）〜（5）のうちから一つ選べ。
（1）43 （2）44 （3）45 （4）46 （5）47
（b）この誘導電動機を，電源周波数50Hzにおいて，60Hz運転時の定格出力トルクと同じ出力トルクで連続して運転する。この50Hzでの運転において，滑りが50Hzを基準として0.05であるときの誘導電動機の出力の値[kW]として，最も近いものを次の（1）〜（5）のうちから一つ選べ。
（1）36 （2）38 （3）45 （4）54 （5）56
解説
(a)
誘導電動機の二次入力をP_2，出力をP_{out}，滑りをsとしたとき，二次入力と出力の比は
P_2 : P_{out} = 1 : 1-s
と表されます。この関係より，
P_2 = \dfrac{P_{out}}{1-s}
であるので，
P_2 = \dfrac{45}{1-0.02} \fallingdotseq 45.918 \fallingdotseq 46
となります。したがって答えは（4）になります。
(b)
誘導電動機の出力をP[W]，トルクをT[N・m]，角速度を\omega[rad/s]としたとき，これらの間には P = \omega T という関係があります。
この問題では，誘導電動機を電源周波数50Hzで運転したときと，60Hzで運転したときのトルクは同じとしているため，そのトルクの大きさをT[N・m]とします。また，それぞれの周波数で運転したときの出力をP_{50}[W]，P_{60}[W]，角速度を\omega_{50}[rad/s]，\omega_{60}[rad/s]としたとき，先ほどの出力，トルク，角速度との関係の式を使って，
P_{50} = \omega_{50} T ・・・式①
P_{60} = \omega_{60} T ・・・式②
と書くことができます。
求めるのは50Hzで運転したときの出力P_{50}ですので，式①を使って求めますが，そのためには50Hzで運転したときの角速度\omega_{50}とトルクTの値が必要です。
\omega_{50}は，50Hzの同期角速度と運転時のすべりの値から求めることができ，トルクTは，60Hzで運転したときの条件が問題で与えられているため，式②を使って求めることができます。
まずは角速度\omega_{50}を求めます。50Hzの同期角速度を \omega_{s50} [rad/s]とすると，同期角速度は50Hzにおける角速度ですので，一般的な角速度と周波数との関係式 \omega = 2 \pi f より，
\omega_{s50} = 2 \pi 50 = 100 \pi
となります。すべりが0.05のときの角速度\omega_{50}はすべりの定義を用いて，
0.05 = \dfrac{\omega_{s50} - \omega_{50}}{\omega_{s50}}
から求めることができ，
\omega_{s50} - \omega_{50} = 0.05 \omega_{s50}
\omega_{50} = (1 - 0.05) \omega_{s50}
\omega_{50} = (1 - 0.05) 100 \pi
\omega_{50} = 95 \pi
となります。
次にトルクの値を60Hzで運転したときの条件から求めます。
60Hzで運転したときの出力は，問題文に記載されているとおり45kWです。角速度\omega_{60}は先ほどと同様に，60Hzにおける同期角速度 \omega_{s60} [rad/s]とすべり0.02を使って，
\omega_{s60} = 2 \pi 60 = 120 \pi
0.02 = \dfrac{\omega_{s60} - \omega_{60}}{\omega_{s60}}
\omega_{s60} - \omega_{60} = 0.02 \omega_{s60}
\omega_{60} = (1 - 0.02) \omega_{s60}
\omega_{60} = (1 - 0.02) 120 \pi
\omega_{60} = 117.6 \pi
と求まります。
したがってトルクの値は， P_{60} = \omega_{60} T の式を使って，
T = \dfrac{P_{60}}{\omega_{60}} = \dfrac{45}{117.6 \pi} [kN・m]
と求まります。
このトルクの値と先ほど求めた50Hz運転時の角速度\omega_{50}を使って，
P_{50} = \omega_{50} T = 95 \pi \dfrac{45}{117.6 \pi} \fallingdotseq 36.35 \fallingdotseq 36[kW]
と求まり，答えは（1）となります。
解答
（a）（4）
（b）（1）
