電験三種 令和2年度 理論　問6『直流回路に関する問題』

問題

図のように，三つの抵抗$R_1=3\Omega$，$R_2=6\Omega$，$R_3=2\Omega$と電圧$V$[V]の直流電源からなる回路がある。抵抗$R_1$，$R_2$，$R_3$の消費電力をそれぞれ$P_1$[W]，$P_2$[W]，$P_3$[W]とするとき，その大きさの大きい順として，正しいものを次の（1）〜（5）のうちから一つ選べ。

（1）$P_1 > P_2 > P_3$　（2）$P_1 > P_3 > P_2$　（3）$P_2 > P_1 > P_3$
（4）$P_2 > P_3 > P_1$　（5）$P_3 > P_1 > P_2$

解説

抵抗$R$[Ω]で消費する電力$P$[W}は，抵抗に流れる電流を$I$[A]とすると，

$P=I^2R$

となります。このまま，各抵抗に流れる電流を求め，各抵抗で消費する電力を求めてもよいですが，消費電力の式を抵抗にかかる電圧を$E$として，電圧と抵抗で表した式にすると，$I=\frac{E}{R}$であるので，

$P=I^2R=(\dfrac{E}{R})^2 \cdot R=\dfrac{E^2}{R}$

となります。この式を用いて，各抵抗で消費する電力を求めていきます。

step
1各抵抗にかかる電圧

$R_2$と$R_3$の並列接続部分にかかる電圧を求めるには，並列部分の合成抵抗値を求める必要があります。$R_2$と$R_3$の合成抵抗値は，

$\dfrac{R_2 \cdot R_3}{R_2+R_3}=\dfrac{6 \cdot 2}{6+2}=\dfrac{12}{8}=1.5$

であるので，$R_1$にかかる電圧を$E_1$，$R_2$と$R_3$の並列接続部分にかかる電圧を$E_p$とすると，

$E_1=V \times \dfrac{3}{3+1.5}=\dfrac{V}{1.5}$

$E_p=V \times \dfrac{1.5}{3+1.5}=\dfrac{V}{3}$

となります。

step
2各抵抗での消費電力

各抵抗での消費電力を$P_1$，$P_2$，$P_3$とすると，

$P_1=\dfrac{{E_1}^2}{R_1}=\dfrac{V^2}{1.5^2 \cdot 3}=\dfrac{V^2}{6.75}$

$P_2=\dfrac{{E_p}^2}{R_2}=\dfrac{V^2}{3^2 \cdot 6}=\dfrac{V^2}{54}$

$P_3=\dfrac{{E_p}^2}{R_3}=\dfrac{V^2}{3^2 \cdot 2}=\dfrac{V^2}{18}$

となり，上記の消費電力の大きさを比較すると，

$P_1 > P_3 >P_2$

となります。

解答

（2）