問題
定格出力45kW,定格周波数60Hz,極数4,定格運転時の滑りが0.02である三相誘導電動機について,次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(a)この誘導電動機の定格運転時の二次入力(同期ワット)の値[kW]として,最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
(1)43 (2)44 (3)45 (4)46 (5)47
(b)この誘導電動機を,電源周波数50Hzにおいて,60Hz運転時の定格出力トルクと同じ出力トルクで連続して運転する。この50Hzでの運転において,滑りが50Hzを基準として0.05であるときの誘導電動機の出力の値[kW]として,最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
(1)36 (2)38 (3)45 (4)54 (5)56
解説
(a)
誘導電動機の二次入力をP2,出力をPout,滑りをsとしたとき,二次入力と出力の比は
P2:Pout=1:1−s
と表されます。この関係より,
P2=1−sPout
であるので,
P2=1−0.0245≒45.918≒46
となります。したがって答えは(4)になります。
(b)
誘導電動機の出力をP[W],トルクをT[N・m],角速度をω[rad/s]としたとき,これらの間にはP=ωTという関係があります。
この問題では,誘導電動機を電源周波数50Hzで運転したときと,60Hzで運転したときのトルクは同じとしているため,そのトルクの大きさをT[N・m]とします。また,それぞれの周波数で運転したときの出力をP50[W],P60[W],角速度をω50[rad/s],ω60[rad/s]としたとき,先ほどの出力,トルク,角速度との関係の式を使って,
P50=ω50T ・・・式①
P60=ω60T ・・・式②
と書くことができます。
求めるのは50Hzで運転したときの出力P50ですので,式①を使って求めますが,そのためには50Hzで運転したときの角速度ω50とトルクTの値が必要です。
ω50は,50Hzの同期角速度と運転時のすべりの値から求めることができ,トルクTは,60Hzで運転したときの条件が問題で与えられているため,式②を使って求めることができます。
まずは角速度ω50を求めます。50Hzの同期角速度をωs50[rad/s]とすると,同期角速度は50Hzにおける角速度ですので,一般的な角速度と周波数との関係式ω=2πfより,
ωs50=2π50=100π
となります。すべりが0.05のときの角速度ω50はすべりの定義を用いて,
0.05=ωs50ωs50−ω50
から求めることができ,
ωs50−ω50=0.05ωs50
ω50=(1−0.05)ωs50
ω50=(1−0.05)100π
ω50=95π
となります。
次にトルクの値を60Hzで運転したときの条件から求めます。
60Hzで運転したときの出力は,問題文に記載されているとおり45kWです。角速度ω60は先ほどと同様に,60Hzにおける同期角速度ωs60[rad/s]とすべり0.02を使って,
ωs60=2π60=120π
0.02=ωs60ωs60−ω60
ωs60−ω60=0.02ωs60
ω60=(1−0.02)ωs60
ω60=(1−0.02)120π
ω60=117.6π
と求まります。
したがってトルクの値は,P60=ω60Tの式を使って,
T=ω60P60=117.6π45[kN・m]
と求まります。
このトルクの値と先ほど求めた50Hz運転時の角速度ω50を使って,
P50=ω50T=95π117.6π45≒36.35≒36[kW]
と求まり,答えは(1)となります。
解答
(a)(4)
(b)(1)