電験三種 令和2年度 機械 問15『誘導電動機の計算問題』 - 電験の寺子屋

第3種 機械 R2年度

電験三種 令和2年度 機械 問15『誘導電動機の計算問題』

問題

定格出力45kW,定格周波数60Hz,極数4,定格運転時の滑りが0.02である三相誘導電動機について,次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)この誘導電動機の定格運転時の二次入力(同期ワット)の値[kW]として,最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

(1)43  (2)44  (3)45  (4)46  (5)47

(b)この誘導電動機を,電源周波数50Hzにおいて,60Hz運転時の定格出力トルクと同じ出力トルクで連続して運転する。この50Hzでの運転において,滑りが50Hzを基準として0.05であるときの誘導電動機の出力の値[kW]として,最も近いものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。

(1)36  (2)38  (3)45  (4)54  (5)56

 

解説

(a)

誘導電動機の二次入力をP2P_2,出力をPoutP_{out},滑りをssとしたとき,二次入力と出力の比は

P2:Pout=1:1s P_2 : P_{out} = 1 : 1-s

と表されます。この関係より,

P2=Pout1s P_2 = \dfrac{P_{out}}{1-s}

であるので,

P2=4510.0245.91846 P_2 = \dfrac{45}{1-0.02} \fallingdotseq 45.918 \fallingdotseq 46

となります。したがって答えは(4)になります。

 

(b)

誘導電動機の出力をPP[W],トルクをTT[N・m],角速度をω\omega[rad/s]としたとき,これらの間にはP=ωT P = \omega T という関係があります。

この問題では,誘導電動機を電源周波数50Hzで運転したときと,60Hzで運転したときのトルクは同じとしているため,そのトルクの大きさをTT[N・m]とします。また,それぞれの周波数で運転したときの出力をP50P_{50}[W],P60P_{60}[W],角速度をω50\omega_{50}[rad/s],ω60\omega_{60}[rad/s]としたとき,先ほどの出力,トルク,角速度との関係の式を使って,

P50=ω50T P_{50} = \omega_{50} T  ・・・式①
P60=ω60T P_{60} = \omega_{60} T  ・・・式②

と書くことができます。

求めるのは50Hzで運転したときの出力P50P_{50}ですので,式①を使って求めますが,そのためには50Hzで運転したときの角速度ω50\omega_{50}とトルクTTの値が必要です。

ω50\omega_{50}は,50Hzの同期角速度と運転時のすべりの値から求めることができ,トルクTTは,60Hzで運転したときの条件が問題で与えられているため,式②を使って求めることができます。

まずは角速度ω50\omega_{50}を求めます。50Hzの同期角速度をωs50 \omega_{s50} [rad/s]とすると,同期角速度は50Hzにおける角速度ですので,一般的な角速度と周波数との関係式ω=2πf \omega = 2 \pi f より,

ωs50=2π50=100π \omega_{s50} = 2 \pi 50 = 100 \pi

となります。すべりが0.05のときの角速度ω50\omega_{50}はすべりの定義を用いて,

0.05=ωs50ω50ωs50 0.05 = \dfrac{\omega_{s50} - \omega_{50}}{\omega_{s50}}

から求めることができ,

ωs50ω50=0.05ωs50 \omega_{s50} - \omega_{50} = 0.05 \omega_{s50}
ω50=(10.05)ωs50 \omega_{50} = (1 - 0.05) \omega_{s50}
ω50=(10.05)100π \omega_{50} = (1 - 0.05) 100 \pi
ω50=95π \omega_{50} = 95 \pi

となります。

次にトルクの値を60Hzで運転したときの条件から求めます。

60Hzで運転したときの出力は,問題文に記載されているとおり45kWです。角速度ω60\omega_{60}は先ほどと同様に,60Hzにおける同期角速度ωs60 \omega_{s60} [rad/s]とすべり0.02を使って,

ωs60=2π60=120π \omega_{s60} = 2 \pi 60 = 120 \pi
0.02=ωs60ω60ωs60 0.02 = \dfrac{\omega_{s60} - \omega_{60}}{\omega_{s60}}

ωs60ω60=0.02ωs60 \omega_{s60} - \omega_{60} = 0.02 \omega_{s60}
ω60=(10.02)ωs60 \omega_{60} = (1 - 0.02) \omega_{s60}
ω60=(10.02)120π \omega_{60} = (1 - 0.02) 120 \pi
ω60=117.6π \omega_{60} = 117.6 \pi

と求まります。

したがってトルクの値は,P60=ω60T P_{60} = \omega_{60} T の式を使って,

T=P60ω60=45117.6π T = \dfrac{P_{60}}{\omega_{60}} = \dfrac{45}{117.6 \pi} [kN・m]

と求まります。

このトルクの値と先ほど求めた50Hz運転時の角速度ω50\omega_{50}を使って,

P50=ω50T=95π45117.6π36.3536 P_{50} = \omega_{50} T = 95 \pi \dfrac{45}{117.6 \pi} \fallingdotseq 36.35 \fallingdotseq 36[kW]

と求まり,答えは(1)となります。

 

解答

(a)(4)
(b)(1)

 

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