電験三種 令和2年度 機械　問4『回転界磁形三相同期発電機の無負荷誘導起電力に関する問題』

周速が v = 2 \tau fとなる理由

問題文に

『極数をp，固定子内側の直径をD[m]とすると，極ピッチ\tau[m]は \tau = \dfrac{\pi D}{p} であるから， f [Hz]の起電力を生じる場合の周速vは v = 2 \tau f である。』

という記載がありますが，ここで書かれている内容が理解できなくても， v = 2 \tau f という結果を用いれば（ｱ）の解答を求めることができました。ここでは，周速度 v  が 2 \tau f となる理由を少し丁寧に説明します。

vは下図のとおり，磁束が導体を横切る速度です。

その速度の方向は，回転子の中心から磁束が導体を横切る位置までの距離を半径とする円の接線方向（上図でN極の上にある青色の矢印）で，大きさは単位時間あたりの円周上の移動距離です。

問題文で固定子の内径がDとして与えられていますので，これを回転子の中心から磁束が導体を横切る位置までの距離を半径とする円の直径と考えます。（上図のとおり，厳密には固定子の内面から電機子導体の中心までの長さを考慮する必要がありますが，その長さは小さいとして考えています。）

回転子の回転周波数をf_m[Hz]（1秒間の回転数がf_m回）とすると，円周上のある1点は1秒間に円の円周の長さのf_m倍の距離を移動する（回転する）ことになるため，その速度（周速度）の大きさは，

v = \pi D f_m [m/s]　･･･式①

と求まります。

ここで，発生する交流電気の周波数と回転子の回転周波数との関係について考えます。

まずは極数が2極の場合についてです。

以下の図は，極数が2極の回転子が1回転するときに発電機のa相の電機子導体に発生する電圧の波形を時間t_1からt_4まで順に示したものです。a相の電機子導体は，発電機の図で赤色の丸で示しており，a,a'の2本1組で回路を構成しています。（同様にb相は青色，c相は緑色で示しています。）

時間t_1では，磁極が電機子導体の真下の位置にあり，この位置では導体a，a'を横切る磁束の移動方向に垂直な磁束の成分の大きさが最大となるため，発生する電圧も最大となっています。（フレミングの右手の法則より，発生する電圧の大きさは導体の移動方向とそれに垂直な磁束の成分の大きさの積に比例するため。）

時間t_2では，磁極が電機子導体から最も離れた位置にあり，この位置では電機子導体a，a'を横切る磁束の移動方向と磁束の向きが同じ，すなわち導体を垂直方向に横切る磁束が0となるため，発生する電圧は0になっています。（フレミングの右手の法則から，導体の移動方向と磁束の向きが同じの場合，発生する電圧は0になるため。）

時間t_3では，時間t_1のときと同様に発生する電圧の大きさは最大ですが，磁極の極が時間t_1のときとは反対であるため，発生する電圧の極性も反対になっています。

時間t_4では，時間t_2と同様に磁極が電機子導体から最も離れた位置にあり，発生する電圧は0になっています。

以上のように極数が2の場合は，回転子が1回転すると発生する交流の電圧も1周期生じるので，回転子の回転周波数と発生する交流電気の周波数は同じとなります。

b相，c相についても位相が120°ずつ違うだけで同様です。

次にN極とS極が2組ある場合，すなわち極数が4極の場合の交流電気の周波数と回転子の周波数について考えます。2極の場合でみたとおり，1本の導体をN極，S極の磁界がそれぞれ1回ずつ導体を横切ると，1周期の交流電気が発生しました。

4極の場合は，下図のとおり，N極とS極の磁極の対が２組あり，電機子側の回路も2組（a相であれば，a₁-a'₁とa₂-a'₂の2組）あります。

上図ではa相の電機子回路に発生する電圧の波形を時間毎に記載していますが，回転子が1回転する間に，1組のN極，S極の磁界はa₁-a'₁とa₂-a'₂の電機子回路を1回ずつ横切ることになるため，発生する交流電気の波形は2周期分となります。

時間t_1では，a₁，a'₁，a₂，a'₂の電機子導体を横切る磁束の移動方向と磁束の向きが垂直となる位置に磁極があるため，発生する電圧も最大となっています。

時間t_2では，電機子導体a₁，a'₁，a₂，a'₂を横切る磁束の移動方向と磁束の向きが同じ，すなわち導体を垂直方向に横切る磁束が0となる位置（a₁-a'₁とa₂-a'₂の導体間の中間の位置）に磁極が来ているため，発生する電圧は0になっています。

時間t_3では，時間t_1と同様に発生する電圧の大きさは最大となりますが，磁極の極性が時間t_1のときとは反対であるため，電圧の極性は反対となっています。

時間t_4では，時間t_2と同様に発生する電圧は0になります。

時間t_5では，再び磁極の位置が時間t_1のときと同様となるため，発生する電圧も再び最大になります。

この時点で1周期の交流電気が発生していますが，磁極はまだ半周目の位置にあります。

残りの半周も同様の動きですので，磁極が1回転したときには，2周期分の交流電気が発生することになります。

これは，回転子の回転周波数の2倍の周波数の交流が発生するということですので，回転子の回転周波数をf_m，発生する交流電気の周波数をfとすると，

f = 2f_m

という関係になります。

N極とS極を3組（極数が6極），4組（極数が8極）と増やした場合も同様に考えると，回転子が1回転するときに発生する交流電気の周波数は，それぞれの回転子の周波数の3倍，4倍となります。

したがって，極数をp極（N極とS極の対で考えると\dfrac{p}{2}対）とすると，回転子の回転周波数f_m，発生する交流電気の周波数fとの関係は以下のとおりとなります。

f = \dfrac{p}{2} f_m

ここまでで，発生する交流電気の周波数と回転子の回転周波数との関係が分かりました。
この結果を先ほど求めた磁束が導体を横切る速度vの式（式①）に代入すると，

v = \pi D f_m = \pi D \dfrac{2}{p} f_m [m/s]　･･･式②

となります。

あとは，この式を極ピッチ\tauを使って表現するだけです。
極ピッチとは，下図のようにN極とS極の軸の中心間の円周上の距離のことです。

上図のとおり，2極の場合は円周の長さの半分，4極の場合は円周の長さの\dfrac{1}{4}が極ピッチになります。

p極の場合の極ピッチを\tauとすると，

\tau = \dfrac{\pi D}{p}

となるため，この式からDを求めると，

D = \dfrac{\tau p}{\pi}

となります。これを式②に代入すると，

v = \pi D \dfrac{2}{p} f_m = 2 \tau f

となります。

長くなりましたが，これでようやく f [Hz]の起電力を生じる場合の周速vを v = 2 \tau f と表すことができました。

最後にこれまでの内容を整理して書くと以下のとおりとなります。

• 回転子磁極の周速 v は，固定子の内径（直径）が D ，固定子の回転周波数が f_m のとき， v = \pi D f_m [m/s]となる。
• 回転子の回転周波数f_mと発生する交流電気の周波数fとの関係は，極数pとすると， f = \dfrac{p}{2} f_m となる。
• 極数がp極の場合の極ピッチ\tauは \tau = \dfrac{\pi D}{p}となる。
• これらの式より， f [Hz]の起電力を生じる場合の周速vは v = 2 \tau f と表すことができる。