電験三種 令和2年度 機械　問4『回転界磁形三相同期発電機の無負荷誘導起電力に関する問題』

問題

次の文章は，回転界磁形三相同期発電機の無負荷誘導起電力に関する記述である。
回転磁束を担う回転子磁極の周速を$v$[m/s]，磁束密度の瞬時値を$b$[T]，磁束と直交する導体の長さを$l$[m]とすると，1本の導体に生じる誘導起電力$e$[V]は次式で表される。

$e = vbl$

極数を$p$，固定子内側の直径を$D$[m]とすると，極ピッチ$\tau$[m]は$\tau = \dfrac{\pi D}{p}$であるから，$f$[Hz]の起電力を生じる場合の周速$v$は$v = 2 \tau f$である。したがって，角周波数$\omega$[rad/s]を$\omega = 2 \pi f$として，上述の磁束密度瞬時値$b$[T]を$b(t) = B_m sin \omega t$と表した場合，導体1本あたりの誘導起電力の瞬時値$e(t)$は，

$e(t) = E_m sin \omega t$
$E_m = \fbox{（ｱ）} B_m l$

となる。
また，回転磁束の空間分布が正弦波でその最大値が$B_m$のとき，1極の磁束密度の$\fbox{（ｲ）} B$[T]は$B = \dfrac{2}{\pi} B_m$であるから，1極の磁束$\Phi$[Wb]は$\Phi = \dfrac{2}{\pi} B_m \tau l$である。
したがって，1本の導体に生じる起電力の実効値は次のように表すことができる。

$\dfrac{E_m}{\sqrt{2}}f \Phi = \dfrac{\pi}{\sqrt{2}}f \Phi = 2.22 f \Phi$

よって，三相同期発電機の1相あたりの直列に接続された電機子巻線の巻数を$N$とすると，回転磁束の空間分布が正弦波の場合，1相あたりの誘導起電力（実効値）$E$ [V]は，

$E = \fbox{（ｳ）} f \Phi N$

となる。
さらに，電機子巻線には一般に短節巻と分布巻が採用されるので，これらを考慮した場合，1相あたりの誘導起電力$E$は次のように表される。

$E = \fbox{（ｳ）} k_W f \Phi N$

ここで$k_W$を$\fbox{（ｴ）}$という。
上記の記述中の空白箇所（ｱ）〜（ｴ）に当てはまる組み合わせとして，正しいものを次の（1）〜（5）のうちから一つ選べ。

解説

回転界磁形三相同期発電機とは，磁界を発生させるための界磁回路を回転させ，電気の発生する電機子回路が固定されたタイプの発電機です。界磁回路により発生した磁束が固定された電機子回路を横切ると，フレミングの右手の法則により電機子回路に起電力が生じます。発電機に負荷を接続しない状態で発生する電圧の大きさを，無負荷誘導起電力と言います。この無負荷誘導起電力に関する問題です。

（ｱ）

誘導起電力を求める式$e = vbl$の$v$と$b$に，問題で与えられた式を代入をすることで解答が得られます。

問題文で，

$e(t) = E_m sin \omega t$
$v = 2 \tau f$
$b(t) = B_m sin \omega t$

と与えられていますので，これらを$e = vbl$の式に代入すると，

$E_m sin \omega t = 2 \tau f ･ B_m sin \omega t ･ l$
$E_m = 2 \tau f ･ B_m ･ l$

となりますので，解答は$2 \tau f$となります。

（ｲ）

問題文にある$B = \dfrac{2}{\pi} B_m$の$B_m$は，正弦波で表される磁束密度の瞬時値$b(t)$の最大値です。正弦波の最大値に$\dfrac{2}{\pi}$を掛けたものが$B$ですが，この問題では$B$が何と呼ばれているか問われています。

解答の選択肢を見ると，平均値，最大値，実効値が候補としてあげられていますが，最大値は先ほどの説明のとおり$B_m$であるため，最大値という解答は明らかに誤りです。解答は平均値か実効値のどちらかということになりますが，

・実効値は最大値に$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$をかけたもの
・平均値は最大値に$\dfrac{2}{\pi}$をかけたもの

ということを知っていれば，解答は平均値であることが分かります。

正弦波の平均値，実効値の定義から計算で求めることも可能ですが，定義を理解した上で結果は覚えておいた方がよいかと思います。

（ｳ）

同期発電機の電機子回路の導体1本に生じる起電力の実効値は，$2.22 f \Phi$であると問題文で与えられていますが，電機子回路の巻き数を$N$にすると，起電力の実効値がどうなるかというのがこの問題です。

巻き数が$N$なので，単純に1本がN倍になると考えて，$2.22 f \Phi N$と解答したくなりますが，同期発電機の電機子回路の巻き数の数え方は，以下の図のように，N極側の導体とS極側の導体を1組として巻き数を数えます。（下図で右側の図は発電機を真横から見た図ですが，この図では電機子回路の巻き数は1回です。）

したがって，巻き数が$N$の場合の起電力は，1本の導体に生じる起電力の$2N$倍となり，$2 \times 2.22 f \Phi = 4.44 f \Phi$となります。

（ｴ）

同期電動機の電機子巻線の巻き方は，下図のように各相毎の巻線をそれぞれ1カ所に集中して巻く集中巻と，固定子の円周上に分散させて巻く分布巻があります。通常は固定子の円周を広く活用できる分布巻が採用されています。

集中巻では，1本ずつの導体が同じ場所に集中して配置されているため，それぞれの導体を磁極による磁界が横切るタイミングが同じです。これらの導体をすべて直列に接続して発電機の端子電圧とした場合，その端子電圧は各導体に生じる電圧の大きさが同じであるため，単純に導体の本数の倍数の大きさになります。（厳密には，導体の大きさがあるため，全く同じ場所に集中して導体を巻くことはできないため，その分のずれは生じます。）

分布巻では1本ずつの導体が巻かれている位置が違うため，磁界がそれぞれの導体を横切るタイミングが異なります。このため，あるタイミングでは，誘導起電力が最大となっている導体や，これから最大値になろうとしている導体，あるいは既に最大値を超えて小さくなっている導体などがあり，これらの導体の直列接続として発電機の端子に現れる電圧の大きさは，集中巻と比べて小さくなります。

次に全節巻，単節巻についてです。

これまで説明で用いてきた発電機の図では，各相の巻線1組の対がそれぞれ磁極の中陣軸上の位置にくるように導体が巻かれていました。このように巻線は全節巻と呼ばれています。全節巻では，N極側の磁界が導体を横切るタイミングとS極側の磁界が導体を横切るタイミングが同じであるため，それぞれの導体に生じる誘導起電力の大きさは常に同じです。

一方で下図のように，磁極の中心軸から片方の巻線の巻く位置を少しずらした位置で巻く巻き方もあり，これを短節巻と言います。

単節巻では，N極側の磁界が導体を横切るタイミングとS極側の磁界が導体を横切るタイミングが常に異なります。N極側の導体とS極側の導体も直列に接続されていますので，各導体に生じる電圧の合成として現れる発電機の端子電圧の大きさは，単節巻の方が全節巻と比べて小さくなります。

まとめると，分布巻，単節巻とすることにより，集中巻，全節巻の場合よりも誘導起電力の大きさが小さくなりますが，その割合を表した係数を巻線係数と言います。分布巻による割合を分布係数，単節巻による割合を単節係数といい，これらの積が巻線係数になっています。

解答

（3）