問題
図のように，点Oを中心とするそれぞれ半径1〔m〕と半径2〔m〕の円形導体の\dfrac{1}{4}と，それらを連結する直線状の導体からなる扇形導線がある。この導線に，図に示す向きに直流電流I=8〔A〕を流した場合，点Oにおける磁界〔A/m〕の大きさとして，正しいのは次のうちどれか。
ただし，扇形導線は同一平面上にあり，その巻き数は一巻である。
（1）0.25 （2）0.5 （3）0.75 （4）1.0 （5）2.0
解説
扇状の導体は，2本の直線状の導体，2本の円弧状の導体で構成されています。これらの導体に流れる電流がそれぞれ点Oに作る磁界を求め，それらを合成することで点Oに生じる磁界の大きさを求めていきます。
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1直線状の導体に流れる電流が点Oに作る磁界
直線状の導体に流れる電流により生じる磁界は，導体を中心とした円形状に発生し，磁界の向きは右ネジの法則に従い，電流の流れる方向を見て時計回り方向となります。
この問題の直線部分が作る磁界を考えると，点Oは直線状の導体の延長線上にあり，直線状の導体が作る磁界の範囲には入っていません。このため，点Oには直線状の導体が作る磁界はありません。
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2円弧状の導体に流れる電流が点Oに作る磁界
問題の円弧の長さは円形の\dfrac{1}{4}であり，点Oは円弧の中心位置にあるため，円形導体に流れる電流が円の中心に作る磁界の公式を覚えていれば，それを\dfrac{1}{4}とすることで，点Oに作る磁界を求めることができます。あるいはビオサバールの公式を用いても求めることは可能です。
円形導体に流れる電流が円の中心につくる磁界の公式を用いる方法
円形導体に流れる電流が作る磁界をH，円形の半径をr，電流をIとすると，
H=\dfrac{I}{2r}
問題の円弧が作る磁界は円弧の長さが円の\dfrac{1}{4}であるため，
H×\dfrac{1}{4}=\dfrac{I}{8r}
となります。
ビオサバールの公式を用いる方法
点Oは円弧の中心であるため，円弧の接線方向から90°の位置にあります。ビオサバールの公式を用いると，円弧の微少な区間Δtに流れる電流が円弧の中心に作る磁界\Delta Hは，円弧の半径をr，電流をIとすると，
\Delta H=\dfrac{1}{4\pi r^2}×I\Delta t
となります。
点Oは円弧の中心に位置するため，円弧上のどの微少区間を選んでも，点Oまでの距離は常にr，円弧の接線方向からの角度は常に90°となるため，円弧に流れる電流が点Oに作る磁界Hは，\Delta Hにおける\Delta tを円弧の長さ2\pi r×\dfrac{1}{4}とすることで求めることができます。
H=\dfrac{1}{4\pi r^2}×I×2\pi r×\dfrac{1}{4}=\dfrac{I}{8r}
上記で求めたとおり，問題の形状の円弧の導体に流れる電流による磁界Hは
H=\dfrac{I}{8r}
となります。
問題の円弧の導体は，半径が1m，2mの円弧がありますが，それぞれに流れる電流による磁界をH_1，H_2として，その大きさを求めます。電流は8〔A〕ですので，
H_1=\dfrac{8}{8}=1
H_2=\dfrac{8}{8×2}=0.5
それぞれの磁界の方向は，右ネジの法則に従い，電流の流れる方向を見て時計回り方向となります。
したがって，半径1mの円弧に流れる電流により点Oに生じる磁界の向きは，紙面の下から上に向かう方向，半径2mの円弧に流れる電流により点Oに生じる磁界の向きは，紙面の上から下に向かう方向になります。
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3点Oにおける磁界を合成して求める
点Oにおける磁界は，これまで求めたとおり，直線状の導体に流れる電流による磁界はなく，円弧の導体に流れる電流により生じる磁界のみとなります。
磁界の向きの正の方向を紙面の下から上に向かう方向として，点Oに生じる磁界の大きさを先ほど求めたH_1とH_2を合成して求めると，
H_1-H_2=1-0.5=0.5
となります。
解答
（2）
